ยินดีต้อนรับสู่ สมการเชิงเส้น สกินhi5,skin hi5 ใหม่ๆ สวยๆ
Math50พระนคร - สมการเชิงเส้น


สมการเชิงเส้น 
                      

         คือสมการที่แต่ละพจน์มีเพียงค่าคงตัว หรือเป็นผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรยกกำลังหนึ่ง ซึ่งจะมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0 หรือ 1 สมการเหล่านี้เรียกว่า "เชิงเส้น" เนื่องจากสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็นเส้นตรง รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร
x และ y คือ

โดยที่ m คือค่าคงตัวที่แสดงความชันหรือเกรเดียนต์ของเส้นตรง และพจน์ b แสดงจุดที่เส้นตรงนี้ตัดแกน y สำหรับสมการที่มีพจน์ x2, y1/3, xy ฯลฯ ที่มีดีกรี

 



ตัวอย่าง
สมการเหล่านี้ล้วนเป็นสมการเชิงเส้น


 รูปแบบของสมการเชิงเส้นในสองมิติ

สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน อย่างเช่นตัวอย่างข้างบน สามารถเขียนใหม่โดยใช้กฎเกณฑ์ของ   พีชคณิตมูลฐาน   ให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น ในสิ่งที่จะอธิบายต่อไปนี้    อักษรตัวใหญ่   ใช้แทน   ค่าคงตัว    (ที่ไม่ระบุจำนวน) ในขณะที่ x และ y คือตัวแปร


 รูปแบบทั่วไป

เมื่อ A กับ B ไม่เป็น   ศูนย์   พร้อมกัน สมการในรูปแบบนี้มักเขียนให้ A 0 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ กราฟของสมการจะเป็นเส้นตรง และทุกๆ เส้นตรงสามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบข้างต้นนี้ได้ เมื่อ A ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน x จะอยู่ที่ระยะ C/A และเมื่อ B ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน y จะอยู่ที่ระยะ C/B ส่วนความชันของเส้นตรงนี้มีค่าเท่ากับ A/B


 รูปแบบมาตรฐาน

เมื่อ A และ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และทั้ง A, B, C จะต้องเป็น   จำนวนเต็ม   ที่มี   ตัวหารร่วมมาก   เท่ากับ 1 และมักเขียนให้ A 0 เพื่อความสะดวกเช่นกัน รูปแบบมาตรฐานนี้สามารถแปลงให้เป็นรูปแบบทั่วไปได้ไม่ยากนัก


รูปแบบความชันและระยะตัดแกน

เมื่อ m แทนความชันของเส้นตรง และ b คือระยะตัดแกน y ซึ่งเป็น  พิกัด   y ของจุดที่เส้นตรงนั้นตัดผ่านแกน y ถ้าหากให้ค่า x = 0 เราจะเห็นสมการนี้อยู่ในรูปแบบ y = b


 รูปแบบจุดและความชัน

เมื่อ m คือความชันของเส้นตรงและ (x1, y1) คือ   จุด   ใดๆ บนเส้นตรงนั้น ซึ่งสามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนได้โดยง่าย รูปแบบจุดและความชันแสดงให้เห็นถึงระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรงนั้นในแนวแกน x และแกน y โดยมีจุด (x1, y1) เป็นจุดยืน

ในบางโอกาสเราอาจเห็นรูปแบบจุดและความชันอยู่ในรูปแบบนี้

แต่อย่างไรก็ตาม ถ้าหาก x = x1 สมการนี้จะไม่มีความหมาย


 รูปแบบระยะตัดแกน

เมื่อ E และ F ต้องไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่ กราฟของสมการนี้จะมีระยะตัดแกน x เท่ากับ E และระยะตัดแกน y เท่า กับ F รูปแบบระยะตัดแกนสามารถแปลงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้โดยกำหนดให้ A = 1/E, B = 1/F และ C = 1



 รูปแบบจุดสองจุด


เมื่อ
p h กราฟนี้จะเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (h, k) และจุด (p, q) โดยมีความชันเท่ากับ m = (q k) / (p h) รูปแบบจุดสองจุดสามารถแปลงให้เป็นรูปแบบจุดและความชันได้ โดยการคำนวณหาค่าที่เจาะจงของความชันมาแทนที่ตำแหน่งของ m


รูปแบบอิงพารามิเตอร์


รูปแบบนี้เป็นสมการหลายชั้น (
simultaneous equations) สองสมการในพจน์ของตัวแปรพารามิเตอร์ t ที่มีความชัน m = V/T โดยมีระยะตัดแกน x อยู่ที่ (VUWT) / V และระยะตัดแกน y อยู่ที่ (WTVU) / T

สมการรูปแบบนี้มีความสัมพันธ์กับรูปแบบจุดสองจุด เมื่อ T = ph, U = h, V = qk, และ W = k จะได้

ซึ่งในกรณีนี้ค่าของ t จะแปรผันตั้งแต่ 0 ที่จุด (h, k) ไปยัง 1 ที่จุด (p, q) ค่าของ t ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 ทำให้เกิดการประมาณค่าในช่วง (interpolation) ส่วนค่าอื่นของ t จะทำให้เกิดการประมาณค่านอกช่วง (extrapolation)

รูปแบบเส้นแนวฉาก
 


 

เมื่อ φ คือมุมเอียงของเส้นแนวฉาก และ p คือความยาวของเส้นแนวฉาก เส้นแนวฉากนี้คือระยะทางของส่วนของเส้นตรงที่สั้นที่สุด ที่เชื่อมระหว่างกราฟเส้นตรงของสมการเชิงเส้นกับจุดกำเนิด รูปแบบเส้นแนวฉากสามารถแปลงจากรูปแบบทั่วไปได้โดยหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย และถ้าหาก C > 0 ให้คูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย 1 เพื่อให้ค่าคงตัวตัวสุดท้ายติดลบ รูปแบบนี้เรียกว่า รูปแบบมาตรฐานเฮสส์ ซึ่งตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแด่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ลุดวิก ออตโต เฮสส์ (Ludwig Otto Hesse)



 กรณีพิเศษ

สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ A = 0 และ B = 1 หรือในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนเมื่อความชัน m = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวนอนโดยที่มีระยะตัดแกน y เท่ากับ F ถ้า F 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน x แต่ถ้า F = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน x เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน

สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ A = 1 และ B = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวดิ่งโดยที่มีระยะตัดแกน x เท่ากับ E ส่วนความชันนั้นไม่นิยาม ถ้า E 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน y แต่ถ้า E = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน y เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน

และ

ในกรณีนี้ทั้งตัวแปรและและค่าคงตัวทั้งหมดถูกตัดออกไป เหลือไว้เพียงประพจน์ที่เป็นจริงอย่างชัดเจน สมการเหล่านี้จะเรียกว่าเป็นเอกลักษณ์ และไม่จำเป็นที่จะพิจารณาในรูปแบบกราฟ (เนื่องจากหมายถึงจุดทุกจุดบนระนาบ xy) ดังตัวอย่าง    2x + 4y = 2(x + 2y   นิพจน์ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับนั้นเท่ากันเสมอ ไม่ว่าค่าของ x และ y จะเป็นค่าใด

โปรดสังเกตว่าการปรับเปลี่ยนทางพีชคณิต อาจทำให้ประพจน์เกิดความเป็นเท็จ อาทิ 1 = 0 ซึ่งเราจะเรียกสมการนั้นว่าเป็น สมการที่ขัดแย้งกัน หมายความว่า ไม่ว่าค่าของ x และ y จะเป็นค่าใด สมการก็ยังเป็นเท็จอยู่เสมอและไม่สามารถวาดกราฟได้ ดังเช่นสมการนี้      3x + 2 = 3x 5



 สมการเชิงเส้นที่มากกว่าสองตัวแปร

สมการเชิงเส้นสามารถมีตัวแปรได้มากกว่า 2 ตัว สมการเชิงเส้นทั่วไปที่มีจำนวนตัวแปร n ตัวสามารถเขียนได้ในรูปแบบ

ซึ่ง a1,a2,...,an เป็นสัมประสิทธิ์ x1,x2,...,xn คือตัวแปร และ b คือค่าคงตัว เมื่อเราต้องการเขียนสมการตัวแปรน้อยๆ เช่น 3 ตัว เราอาจแทนที่ x1,x2,x3 ด้วยชื่อตัวแปรอื่นๆ เช่น x,y,z ได้ตามต้องการ

สมการดังกล่าวจะเป็นการนำเสนอระนาบเกิน n1 มิติ (hyperplane) ในปริภูมิแบบยุคลิด n มิติ เช่นระนาบสองมิติในปริภูมิสามมิติ เป็นต้น



 

 

แจกสกินhi5/คอมเม้นน่ารักๆส่งต่อให้เพื่อนคลิกเลยจ้า
Today, there have been 1 visitors (2 hits) on this page!

แจกสกินhi5/คอมเม้นน่ารักๆส่งต่อให้เพื่อนคลิกเลยจ้า เม้นส่งต่อให้เพื่อนคลิกเลยจ้า แจกสกินhi5/คอมเม้นน่ารักๆส่งต่อให้เพื่อนคลิกเลยจ้า
=> Do you also want a homepage for free? Then click here! <=